Georg Cantor, fue un gran matemático alemán que dedicó su vida al
estudio del infinito. En el siglo XIX desarrolló la teoría de conjuntos, la
cual se relacionó con la teoría de números transfinitos. Fundamentó una
axiomática consistente que permite construir los conjuntos y posteriormente
establecer el concepto de infinito. Para esto definió el concepto de
"cardinalidad'' o "potencia'' de un conjunto.
Su teoría: “Dos conjuntos se dicen que tienen el mismo número de
elementos, que tienen la misma cardinalidad o son equipolentes, si existe una
función definida entre ellos de forma que a cada elemento de uno sólo le
corresponde otro elemento del otro conjunto, y viceversa”
A partir de esta definición se puede establecer la idea de
conjunto infinito. Se dice que un conjunto es infinito si existe un subconjunto
con la misma cardinalidad o que es equipotente con él. Esta definición plantea
una contradicción con la intuición, pues todo subconjunto como parte del
conjunto total parece que deba tener menos elementos. Eso es así,
efectivamente, en los conjuntos finitos, pero no en los infinitos como podemos
observar con un ejemplo sencillo dentro del conjunto de los números naturales.
En el siguiente video podemos ver un poco más sobre esta teoría...
Hola, quería agregar un poco de información que estuve leyendo acerca del tema.
ResponderEliminarCantor se dio cuenta de que existen diferentes grados de infinitud comparando los infinitos de los números naturales, racionales y reales. Al cardinal infinito del conjunto de los números naturales le asignó el número llamado Aleph-0 y vio que era del mismo orden que el correspondiente a los números racionales. Pero en el caso de los números reales su cardinal transfinito es de mayor orden pues su conjunto no es numerable. A este cardinal le asignó el nombre de Aleph-1 y se supone que R es capaz de llenar la recta por completo.
El descubrimiento de la existencia de cardinales transfinitos supuso un desafío para un espíritu tan religioso como el de Georg Cantor. Trató durante muchos años de probar la hipótesis del continuo, lo que se sabe hoy que es imposible, y que tiene que ser aceptada como axioma adicional de la teoría, como ocurre con el llamado quinto postulado euclidiano sobre las rectas paralelas. Si se admite tenemos una geometría plana consistente, y si no se admite tenemos nuevas geometrías no planas también consistentes.
Cantor al desarrollar la que él mismo bautizó "aritmética de los números transfinitos", dotó de contenido matemático al concepto de infinito actual. Y al hacerlo así puso los cimientos de la teoría de conjuntos abstractos, contribuyendo además, de forma importante, a fundamentar el cálculo diferencial y el continuo de los números reales.
Empezó a interpretar e identificar el infinito absoluto (que no es concebible por la mente humana) con Dios, y escribió artículos religiosos sobre el tema. Murió en una clínica psiquiátrica, aquejado de una enfermedad maníaco-depresiva. Hoy en día, la comunidad matemática reconoce plenamente su trabajo, y admite que significó un salto cualitativo importante en el raciocinio lógico.
Este comentario ha sido eliminado por el autor.
ResponderEliminarHola Compañeros!
ResponderEliminarLa presentación en general del blog tiene algunos detalles. Por ejemplo, Formalismo, Instiucionismo y Logicismo no queda en el mismo cuerpo de las demás entradas. De hecho, luego de varias visitas realizadas lo descubrí. Y por otro lado, no contiene actividades para el aula.
Con respecto al desarrollo de las diferentes etapas algunas fueron de lectura más fácil y dinámica que otras. Los temas abordados son muy interesantes y están bien organizados.
Las biografías están planteadas en imágenes, con los aportes más importantes con cual hace su lectura más accesible.
La implementación de imágenes con movimiento es original y el video utilizado sobre la Teoría de Cantor resulta muy interesante para la explicación del tema que, a la hora de analizar el campo numérico en profundidad, suele ser abstracto para los alumnos. Me gustaría hacer un aporte a modo introducción para este video.
Adrián Paenza en su libro Matemática... ¿estás ahí? se plantea lo siguiente:
“ … La pregunta que uno tiene que hacerse es la siguiente: da la sensación de que todos los conjuntos infinitos tienen el mismo cardinal. Es decir, hemos revisado los naturales, los pares, los impares, los enteros, los racionales, etcétera. Todos los ejemplos que hemos visto de conjuntos infinitos resultaron ser coordinables a los naturales, o lo que es lo mismo, tienen todos el mismo cardinal: aleph cero.
Con todo derechos, entonces, uno podría decir: “Bueno. Ya sabemos cuales son los conjuntos infinitos. Habrá muchos o pocos, pero todos tienen el mismo cardinal”. Y aquí es donde aparece un punto central en la teoría de conjuntos. Hubo un señor que hace muchos años, alrededor de 1880, se tropezó con un problema. Tratando de demostrar que todos los conjuntos infinitos tenían el mismo cardinal, encontró uno que no. El señor, por más esfuerzo que hacía por encontrar “las flechitas” para poder coordinar su conjunto con los números naturales, no podía. Tal era su desesperación que en un momento cambió de idea (e hizo algo genial, claro, pero tuvo una idea maravillosa) y pensó: “¿y si no puedo encontrar las flechitas porque no es posible encontrarlas? ¿No será preferible que trate de demostrar que no se pueden encontrar las flechitas porque no existen?”.
Este señor se llamó Georg Cantor….”
Luego del video se podría proponer la siguiente actividad para trabajar en el aula.
Tomar todos los conjuntos de los números reales que estén en el segmento [0,1] y probar que hay un conjunto infinito que no se puede coordinar con los naturales.
Solución: Paenza, Adrían; Matemática...¿Estás ahí? Sobre números, personajes, problemas y curiosidades; 1a Ed. 3ra reimp.; Buenos Aires: Siglo XXI Editores Argentina; 2005; Pág. 80-86
Pdf: http://www.ime.usp.br/~manuelg/arquivos/MEA1.pdf
Saludos!
Un ejemplo
ResponderEliminar