Fundamentos de la Matemática y de la Geometría

"Todo el conocimiento humano comienza con intuiciones,

de allí pasa a conceptos y finaliza con ideas”

Kant

En Geometría es necesario para su desarrollo un número de principios fundamentales simples llamados axiomas. 

• Existen puntos que los designaremos con las letras A, B, C, …

• Existen rectas que las designaremos con las letras a, b, c, …

• Existen planos que los designaremos con letras griegas α, β, γ, …

• Los puntos son los elementos de la geometría lineal, las rectas son los elementos de la geometría plana y los puntos, las rectas y los planos son los elementos de la geometría del espacio.

• Estos puntos, rectas y planos tiene relaciones entre ellos, que indicaremos con palabras como “están situados”, “entre”, “paralelas”, “congruentes”, etc.  Una completa descripción de ellos y de sus relaciones serán consecuencias de los axiomas de la geometría. 

Definición:
Si tenemos un número finito de puntos situados en una recta, podemos siempre ordenarlos en una sucesión A, B, C, D, E, … , K tal que B esté entre A y C, D, E, … ,K; C esté entre A, B y D, E, … , K; D esté entre A, B, C y E, … , K, etc.
Aparte de este orden de sucesión, existe otro con propiedades similares, el orden inverso, K, … , E, D, C, B, A.
Si dos rectas a y b, de un plano no tiene intersección con una tercera recta c del mismo plano, entonces entre ellas tampoco hay intersección.Si A y B son dos puntos en una línea recta a, y si A’ es un punto de la misma o de otra recta a’, entonces a un lado de A’ sobre la recta a’, podemos encontrar siempre un único punto B’  tal que el segmento AB es congruente con A’ B’.
Indicaremos esta relación escribiendo:
Si AB ≡ A’ B’ y AB ≡ A” B”, entonces A’B’ ≡ A” B”
Entonces si AB ≡ A’ B’ y BC ≡ B’ C’ tenemos que AC ≡ A’ C’.

Se ha investigado en este campo con el fin de elegir un conjunto simple y completo de axiomas independientes y para deducir de estos sus teoremas más importantes.
A continuación haremos una clasificación de estos elementos y axiomas desde la investigación de ,David Hilbert,Biografía David Hilbert.

Los elementos de la geometría y los 5 grupos de axiomas.

Los objetos que componen el primer sistema los llamaremos puntos, los del segundo sistema serán llamados rectas y aquellos del tercer sistema serán llamados planos.

Estos axiomas pueden ser presentados en 5 grupos, cada grupo expresa por sí mismo relaciones fundamentales.

Axiomas de conexión: Los axiomas de este grupo establecen una conexión entre los conceptos indicados anteriormente, llamados puntos, rectas y planos.

Axioma I – 1

Dos puntos distintos A y B determinan una única recta a. Escribiremos  a=AB o a=BA.

Axioma I – 2

Dos puntos distintos determinan completamente una recta, esto significa que si a=AB y a=AC, donde B≠C, entonces a=BC.

Axioma I – 3

Tres puntos distintos que no están en la misma recta, determinan completamente un plano, escribiremos ABC=α.

Emplearemos también las expresiones, A, B y C están en α, o A, B y C son puntos de α.

Axioma I- 4

Dados tres puntos distintos A, B y C de un plano α, que no se encuentran sobre la misma recta, determinan completamente ese plano.

Axioma I – 5

Si dos puntos A y B de una recta a, están en el plano α, entonces todos los puntos de a están en el plano α.

En ese caso diremos que la recta a, está en el plano α.

Axioma I – 6

Si dos planos α y β tienen un punto en común, entonces tienen un segundo punto en común.

Axioma I- 7

En toda recta existen al menos dos puntos, en todo plano existen al menos tres puntos que no están en la misma recta, en el espacio existen al menos cuatro puntos no todos en el mismo plano.

Teorema 1

Dos rectas en el plano tienen un punto en común o no tiene puntos en común; dos planos no tienen puntos en común o tienen en una recta en común; una plano y una recta que no está en el plano o no tienen puntos en común o tienen un punto en común.

Teorema 2

Dada una recta y punto que no está en ella, o dadas dos rectas que tienen en un punto en común, un único plano puede pasar por ellos.

Axiomas de orden: definen la idea expresada en la palabra “entre“, y establece en base a ésta idea un orden de sucesión en los puntos de una recta, en el plano y en el espacio. Los puntos de una recta tienen cierta relación y la palabra “entre” sirve para describirla. 

Axioma II – 1

Si A, B y C son puntos de una recta y B está entre A y C, entonces B también está entre C y A.

Axioma II – 2

Si A y C son puntos de una recta, entonces existe al menos un punto B entre A y C y al menos un punto D situado tal que C esté entre A y D.

Axioma II – 3

Dados tres puntos cualesquiera de una recta, existe uno y sólo uno de ellos que está situado entre los otros dos.

Axioma II – 4

Dados cuatro puntos cualesquiera A, B, C, D de una recta  siempre pueden ser ordenados tal que B este entre A y C y también entre A y D; y además, que C esté entre A y D y también entre B y D.

Dados dos puntos A y B sobre una recta, llamaremos segmento a los puntos que están entre A y B, lo denotaremos AB o BA. Los puntos que están entre A y B se dicen que son puntos del segmento AB o que pertenecen al segmento. Todos los otros puntos de la recta se dicen que están fuera del segmento. Los puntos A y B son llamados extremos del segmento.

Axioma II – 5

Sean A, B y C tres puntos que no están sobre la misma recta y sea a una recta que está en el plano ABC y no pasa por los puntos A, B y C. Entonces, si una recta pasa atraves del segmento AB, entonces pasará por un punto del segmento AC o un punto del segmento BC.

Axioma de las paralelas (Axioma de Euclides)

Teorema 3:

Entre dos puntos de una recta, existen infinitos puntos.

Teorema 4:
Si tenemos un número finito de puntos situados en una recta, podemos siempre ordenarlos en una sucesión A, B, C, D, E, … , K tal que B esté entre A y C, D, E, … ,K; C esté entre A, B y D, E, … , K; D esté entre A, B, C y E, … , K, etc.

Aparte de este orden de sucesión, existe otro con propiedades similares, el orden inverso, K, … , E, D, C, B, A.

Teorema 5:

Toda recta a que se encuentra en un plano α, divide al resto de los puntos en dos regiones que tienen las siguientes propiedades: Todo punto A de una de las regiones determina con cada punto B de la otra región un segmento AB que contiene un punto de la recta a.  Por otro lado, dos puntos cualesquiera A, A’ de la misma región determinan un segmento AA’ que no contiene ningún punto de a.

Si A, A’, O B son cuatro puntos de una recta a, donde O se encuentra entre A y B pero no entre A y A’, entonces podemos decir: Los puntos A, A’ están situados del mismo lado con respecto a O, y los puntos A y B están situados sobre diferentes lados del punto O.

Todos los puntos de a que se encuentran del mismo lado del punto O, tomados juntos, son llamados semirrecta de origen O. Por lo tanto, cada punto de una recta divide a la misma en dos semirrectas.

Haciendo uso de la notación del teorema 5, decimos: los puntos A, A’ están en un plano α sobre el mismo lado con respecto a la recta a, y los puntos A y B están en lados diferentes con respecto a la recta a.

Definiciones:

Un sistema de segmentos AB, BC, CD, … , KL es llamado línea quebrada que une A con L, y es designada brevemente, como la línea quebrada ABCDE … KL. Los puntos que se encuentran sobre los segmentos AB, BC, CD, … ,KL, como así también los puntos A, B, C, D, … , K, L son llamados los puntos de la línea quebrada. En particular, si el punto A coincide con el punto L, la línea quebrada es llamada polígono ABCD … K. Los segmentos AB, BC, CD, … , KA son llamados lados del polígono y los puntos A, B, C, D, …, K los vértices. Los polígonos que tiene 3, 4, 5, … , n vértices son llamados, respectivamente, triángulos, cuadrángulos, pentágonos, … , n-ágonos. Si los vértices de un polígono son todos distintos y no se encuentran sobre los segmentos que componen los lados del polígono, y, además, si dos lados no tienen puntos en común, entonces el polígono es llamado polígono simple.

Axioma III

En un plano α, dados una recta a y un punto A, que no pertenece a la recta. Existe una y solo una recta que pasa por el punto A y no intersecta a la recta a. Esta recta es llamada paralela a la recta a que pasa por A.

Este axioma de las paralelas contiene dos afirmaciones. La primera es que en el plano α, hay siempre una recta que pasa por A y no intersecta a la recta a. La segunda es que sólo hay una.

Teorema 8:

Si dos rectas a y b, de un plano no tiene intersección con una tercera recta c del mismo plano, entonces entre ellas tampoco hay intersección.

Axiomas de congruencia: definen la idea de congruencia o desplazamiento.

Axioma IV – 1

AB ≡ A’ B’

Todo segmento es congruente con si mismo, eso significa que AB ≡ AB.

Axioma IV – 2

Si un segmento AB es congruente a un segmento A’ B’ y también a un segmento A”B”, entonces el segmento A’B’ es congruente con el segmento A” B”.

Axioma IV – 3

Sean AB y BC dos segmentos de una recta a que no tienen puntos en común salvo B, y sean además, A’ B’ y B’ C’ dos segmentos en la misma recta o en otra a’, que no tiene puntos en común salvo B’.

Axioma de continuidad (Axioma de Arquímedes)

Sean dos segmentos AB y CD tales que C es diferente de D. Entonces existe un entero n, y n puntos A₁, ..., A_n de la recta que contiene al segmento AB, tales que A_j se sitúa entre A_j-1y A_j+1 si 2 ≤ j < n - 1, A_jA_j+1 es congruente a CD si 1≤ j <n - 1, A se confunde con A₁ y B se sitúa entre A y A_n.