La Matemática del Siglo XX: Los Trabajos de Hilbert

David Hilbert es una de esas figuras que marca una nueva época en las Matemáticas. Realizó importantes contribuciones en muy distintas áreas (Álgebra, Geometría, Teoría de Números, Análisis Funcional, Física, etc.) pero, sobre todo, desarrolló nuevos métodos y técnicas que provocaron cambios radicales en la manera de entender y desarrollar la matemática.

Hilbert sabía contagiar a sus mejores alumnos su entusiasmo y su pasión por las matemáticas. Por ejemplo, entre los años 1900 y 1914, en los que se dedicó intensamente al estudio de las ecuaciones integrales y a crear el comienzo de lo que sería la Teoría Espectral en Espacios de Hilbert, dirigió unas 40 Tesis Doctorales sobre estos temas.

Otra característica  es la amplitud de sus campos de interés. Como tuvo ocasión de poner de manifiesto durante la celebración del Segundo Congreso Internacional de Matemáticos en París, su famosa lista de Problemas (sobre la que volveremos) contemplaba temas tan diversos que indicaba unos conocimientos impresionantes del estado de las matemáticas en aquel momento. De hecho, se suele decir que Hilbert y Poincaré son los últimos universalistas en Matemáticas, esto es, que tenían un conocimiento casi total de todo el edificio de las Matemáticas de su época.

Pero además, a lo largo de toda su vida mostró siempre una firme e inquebrantable fe en la confiabilidad de la inferencia matemática. Para Hilbert la investigación en Matemáticas está fundamentada en la resolución de sucesivos problemas que surgen al realizarla.

“Un buen problema es un verdadero hilo conductor a través de los dédalos del laberinto hacia las verdades ocultas”.

Y el objetivo de toda investigación es dar respuesta a los problemas planteados, y para Hilbert, todo problema determinado en matemáticas admite una respuesta, bien mediante una prueba rigurosa de su solución o bien con la demostración de la imposibilidad de la misma, porque “en matemáticas no existe el ignorabimus”. En esta convicción o “axioma” reside el núcleo de la epistemología de Hilbert y condiciona su actividad investigadora cotidiana: Su obra se podría presentar como una serie de problemas resueltos en distintas áreas. Por supuesto, el camino para su solución no es lineal, pero hay una unidad subyacente en los métodos de resolución, a saber: la construcción de un marco teórico adecuado, usualmente a través del método axiomático, en el que se puedan desarrollar las herramientas para resolver el problema planteado. Como consecuencia, Hilbert no solamente resuelve problemas, sino que abre nuevos campos de investigación hasta entonces insospechados.

Hilbert es uno de los primeros en utilizar sistemáticamente en su obra la noción de estructura, es decir, tratando y agrupando los objetos matemáticos no tanto por su naturaleza, sino por las relaciones existentes entre ellos. Es así como surgieron a lo largo del siglo XIX las primeras estructuras algebraicas: grupos, anillos, cuerpos, ideales, etc. cuyo uso  sistematizó en muchos de sus trabajos. El hecho de obviar la naturaleza de los objetos estudiados permite liberar los razonamientos de consideraciones contingentes ligadas a la naturaleza de estos objetos, y consigue que se ponga de manifiesto las ideas fundamentales en la demostración: “La ventaja de este tipo de demostraciones [abstractas] es que se eliminan las construcciones particulares aisladas para agruparlas bajo una idea fundamental, de modo que se pone claramente en evidencia lo que es esencial en la demostración.”

Junto a una inquebrantable fe en su fiabilidad, Hilbert defendía también la unidad de las matemáticas, frente a otras ciencias:

“La ciencia de las matemáticas, tal como yo lo veo, es un todo indivisible, un organismo cuya habilidad para sobrevivir reside en la conexión entre sus partes.”