Fundamentación del Número Real

Los números naturales tienen origen en una necesidad tan antigua como las primeras civilizaciones: La necesidad de contar. 
El hombre primitivo identificaba objetos con características iguales y podía distinguir entre unos y otro; pero no le era posible captar la cantidad a simple vista. Por ello, empezó a representar las cantidades haciendo marcas en huesos, trozos de madera o piedra; éstas representaban cada objeto observado, y así pudo concebir la idea de número. Para el siglo X después de Cristo, el matemático y poeta Omar Khayyam estableció una teoría general de número y añadió algunos elementos a los números racionales, como son los números irracionales, para que puedan ser medidas todas las magnitudes.

A fines del siglo XIX pudo formalizarse la idea de continuidad y comienza entonces la construcción y sistematización de los Números Reales,  fue lograda por dos grandes matemáticos europeos utilizando vías distintas: la teoría de conjuntos de Georg Cantor , por un lado, y el análisis matemático de Richard Dedekind. 
Ambos matemáticos lograron la sistematización de los números reales, no de manera espontánea, sino utilizando todos los avances previos en la materia: desde la antigua Grecia y pasando por matemáticos  como Descartes, Newton , Leibniz, Euler, Lagrange, Gauss, Riemann, Cauchy entre otros.

Al conjunto de los números reales se llega por sucesivas ampliaciones del campo numérico a partir de los números naturales. En cada una de las ampliaciones se avanza y mejora respecto de la anterior.
Con los números naturales (N) se puede sumar y multiplicar pero no se puede restar (a - b) si a < b. 

Se definen así los números negativos o enteros negativos que al unirse con el cero y los naturales constituyen el conjunto de los números enteros (Z).  

Con los números enteros (Z) se puede sumar, restas, pero no se puede dividir  a/b si b no es múltiplo de a.

Se definen así los números fraccionarios que unidos a los enteros constituyen el conjunto de los números racionales.

Todo número racional se puede expresar como un número decimal exacto  o como un número decimal periódico, es decir con infinitas cifras decimales que se repiten 

Con los números racionales se puede sumar, restar, multiplicar y dividir (sólo si el divisor es distinto de cero). Si bien el conjunto de los números racionales tiene una muy buena estructura para realizar las diferentes operaciones quedan algunas situaciones que no se pueden considerar dentro de él ( p , entre otros). Surgen entonces los números irracionales para dar respuesta a estas instancias.

La mayoría llega a definir o enunciar 10 axiomas. Unos llamados axiomas de cuerpo, que tienen que ver con la estructura algebraica de los reales, y los otros llamados axiomas de orden, los cuales atribuyen a los reales, junto con el axioma de completitud, la continuidad.