Corrientes de la Epistemología de la Matemática.
FORMALISMO
El formalismo matemático entiende las matemáticas como un juego basado en un cierto conjunto de reglas para manipular cadenas de caracteres: “... el programa del formalismo matemático consiste en construir la Matemática como un sistema lógico-formal puro, cuya condición fundamental es la ausencia de contradicción, prescindiendo de todo tipo de contenido; se trata, pues, de un sistema formal vacío. Estaría integrado por uno o más conjuntos de elementos fundamentales, por relaciones definidas entre esos conjuntos y por proposiciones reguladoras de estas relaciones.
David Hilbert es considerado fundador del formalismo moderno. Su interés era la construcción axiomática consistente y completa de la totalidad de las matemáticas, seleccionando como punto de partida los números naturales y asumiendo que mediante el uso de axiomas se obvía la necesidad de definir los objetos básicos con el fin de lograr un sistema completo y consistente.
"Las matemáticas no conoce razas o fronteras geográficas, las matemáticas, el mundo cultural es un país".
En esta visión los enunciados matemáticos dejan de ser proposiciones “sobre algo”. Lo que importa son las relaciones que se establecen entre ellos.
Otro matemático que fue inspirado por el formalismo fue Haskell Curry, generalmente considerado el fundador de la lógica combinatoria.
INTUICIONISMO
El intuicionismo es un posicionamiento filosófico acerca de la realidad de la matemática. Desde este punto de vista, la matemática (los números, los conjuntos, el infinito, etc.) es interpretada en términos de construcciones mentales, de tal modo que se puede ver al intuicionismo como una variante del constructivismo.
Kronecker (1823-1891) fue el precursor del intuicionismo, mientras que las ideas fundamentales del intuicionismo fueron elaboradas por L. E. J. Brouwer en su tesis doctoral (1907), en la que criticó las tesis fundamentales del logicismo y el formalismo acerca de la naturaleza, la fundamentación y los métodos matemáticos.
"Dios hizo los números Naturales. Los demás son cosa del hombre". Leopold Kronecker.
Los intuicionistas, pensaban que las matemáticas clásicas estaban plagadas de errores, y que las bases de las matemáticas estaban en la explicación del origen, o la esencia de los números naturales 1, 2, 3,… Para la filosofía intuicionista, todo ser humano tiene una intuición congénita en relación con los números naturales. Esto significa en primer lugar que tenemos una certeza inmediata de lo que significamos con el número “1”, y en segundo lugar, que el proceso mental que originó el número 1 puede repetirse. La repetición de este proceso, induce la creación del número 2, una nueva repetición y aparece el número 3. Esta construcción mental de un número natural tras de otro, nunca podría darse, si no tuviéramos dentro de nosotros, una preconcepción del tiempo.
También es importante notar que, esta construcción es, a la vez, inductiva y efectiva; inductiva en el sentido de que si queremos construir, digamos el número 2¸ uno tiene que recorrer el proceso mental de construir el número 1 y luego el número 2. El proceso es efectivo (entendido como causa-efecto) en el sentido de que una vez hemos logrado la construcción de un número natural dado, él queda ya como un constructo mental completo, listo a convertirse en objeto de estudio.
Según la filosofía intuicionista, las matemáticas podrían definirse como una actividad mental y no como un conjunto de teoremas en el sentido del logicismo; así una definición intuicionista de matemáticas dice: las matemáticas son una actividad mental, que consiste en realizar constructos, uno detrás del otro.
Para los intuicionistas, los procesos lógicamente válidos se dan, porque ellos son constructos y así, la parte válida de la lógica clásica es parte de las matemáticas.
Así pues, hay aritmética, álgebra, análisis, teoría de conjuntos, desarrolladas, todas ellas, con el enfoque intuicionista. Sin embargo, en cada una de estas ramas de las matemáticas, ocurren teoremas clásicos los que no están compuestos de constructos y, serán para los intuicionistas, meras combinaciones de palabras sin ningún sentido. Consecuentemente, se puede decir, que los intuicionistas no han podido, al menos hasta ahora, reconstruir todo el espectro de las matemáticas clásicas. Si se mira al intuicionismo desde la perspectiva de un matemático clásico, se puede decir que el intuicionismo ha fallado en el logro del objetivo de dar a las matemáticas una fundamentación adecuada. Una razón para ello es que los matemáticos clásicos no están dispuestos a alejarse de muchos de los hermosos problemas y teoremas que, para los intuicionistas no son más que combinación de palabras sin sentido.
LOGICISMO
En la filosofía de la matemática, el logicismo es la doctrina que sostiene que la matemática es en algún sentido importante reducible a la lógica. El logicismo fue clave en el desarrollo de la filosofía analítica en el siglo XX.
La doctrina logicista tuvo su primer antecedente en Gottfried Leibniz. Sin embargo, el primer intento serio y detallado de reducir la matemática a la lógica tuvo que esperar hasta el siglo XIX, cuando Richard Dedekind, Georg Cantor y Giuseppe Peano articularon los principios básicos de la matemática, y Gottlob Frege desarrolló el primer sistema de lógica de predicados.
Gottlob Frege dedicó gran parte de su carrera al proyecto logicista. A principios del siglo XX, Bertrand Russell descubrió una inconsistencia grave en los principios de los que Frege había partido, hoy conocida como la paradoja de Russell. Esto desanimó a Frege, quien terminó abandonando el proyecto.
Bertrand Russell y Alfred North Whitehead publicaron Principia Mathematica, entre 1910 y 1913, un intento monumental de reparar los problemas en el sistema de Frege y completar el proyecto logicista. Sin embargo, el sistema de Principia Mathematica tuvo sus propios problemas.
En particular, dos de sus axiomas fueron muy cuestionados: por un lado el axioma de infinitud, que afirma que existe un número infinito de objetos, fue criticado por parecer más una proposición empírica que una verdad lógica. Por otro lado, el axioma de reducibilidad, que resuelve algunas dificultades técnicas del sistema, fue criticado por ser demasiado ad hoc como para estar filosóficamente justificado.
Excelente
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