Axiomas de Peano

El desarrollo de la lógica matemática está estrechamente ligado a la evolución intelectual de la ciencia, de sus avatares, de su historia. La construcción de la lógica matemática moderna, desde la segunda mitad del siglo XIX, es un reflejo de esta evolución.

El papel del matemático italiano Giuseppe Peano fue crucial en todo el proceso de paso de una visión "ingenua" de la lógica a una lógica que establecería ya el rigor, mediante reglas de juego, del proceso de la demostración..

Es muy interesante mencionar algunos de los aportes de uno de los grandes matemáticos, filósofos italianos, nació en Cuneo, actual Italia, 1858 y murió en Turín, 1932, fue conocido por sus contribuciones a la Teoría de Conjuntos, ya que fue el primero en usar los símbolos modernos para la unión e intersección de conjuntos. Hizo avances en las áreas de análisis, fundamentos y lógica, realizó muchas contribuciones a la enseñanza del cálculo y contribuyó en los campos de ecuaciones diferenciales y análisis vectorial. Jugó un rol central en la axiomatización de las matemáticas y fue un pionero en el desarrollo de la lógica matemática.
Los axiomas de Peano o postulados de Peano definen de manera exacta al conjunto de los números naturales, no se preguntan por el significado del que es un número natural, supone que existe y pretende encontrar un sistema simple de axiomas que caracterizan los números naturales y nos permite deducir a partir de estos, todas las propiedades de los números naturales, utilizando las reglas de la lógica.


Posición del pensamiento lógico hasta Peano:
Hasta casi finales del siglo XIX se pensaba que la validez de una demostración, de un razonamiento matemático, consistía principalmente en que "nos convenciera", en que se nos presentase como evidente a nuestra mente y lo aceptáramos como válido
Se podría citar, como ejemplo de ello, la frase del matemático francés Jean Marie Duhamel (1797-1872): "El razonamiento se hace por el sentimiento que nos produce en la mente la evidencia de la verdad, sin necesidad de norma o regla alguna".

La posición de Giuseppe Peano se levantó contra esta forma de argumentar, pues, en esencia, defendía que "el valor de una demostración, de un proceso argumentativo, no depende del gusto o sentimientos interiores de nadie, sino de que el argumento tenga una propiedad de validez universalmente comprobable".

La lógica de enunciados y Peano:
Hasta el año 1878, se consideraba que la lógica matemática era, simplemente, la lógica de clases, el álgebra de clases. Fue a partir de entonces cuando se empezó a entender que toda la lógica matemática dependía de la implicación lógica entre enunciados diversos. Que la raíz de toda lógica matemática es la teoría de enunciados, y no la teoría de clases.
La gran aportación de Peano al respecto fue la idea de que es posible poner todas las argumentaciones de la lógica de enunciados y de la lógica de clases en un lenguaje artificial de signos, conectados mediante implicaciones.
Para Peano la Lógica de la Matemática era un instrumento para dar el rigor y adecuado valor a las argumentaciones del quehacer de la matemática.

Aportaciones del trabajo de Peano:
El deseo de colocar las argumentaciones de la matemática en un lenguaje riguroso, obligó a Peano a desarrollar un cuerpo de signos que sirvieran para la notación de los razonamientos y las definiciones de objetos. Fueron varios los símbolos que comenzó a utilizar y las ideas sobre la simbolización de los razonamientos que aún en nuestros días se utilizan comúnmente.
Un ejemplo importante es la simbolización de una clase por medio de un enunciado que estableciera una cierta propiedad. Sería algo así como "la clase de los objetos x tales que p(x)". Esto es algo así como un axioma formador de clases por la propiedad p(x) que contengan los objetos x.
Otro descubrimiento de Peano fue el hecho de que "ser elemento" de una clase, es decir "pertenecer" a una clase, es algo diferente a "estar incluido o contenido" en una clase. Es decir, estableció la diferencia entre los objetos de una clase y las partes de una clase. Para la indicación de la relación de pertenencia se utiliza hoy dia el símbolo ε y para la relación de inclusión el símbolo c.
Otra notación que hoy día seguimos utilizando es la del cuantificador universal, esto es la notación, por ejemplo, de "para todo x, x pertenece a A si p(x)".  Asimismo, el cuantificador existencial para indicar situaciones como "existe algún x tal que p(x)".

Los axiomas fueron establecidos por Peano (1858-1932), se han utilizado prácticamente sin cambios para una variedad de investigaciones meta matemáticas, incluyendo cuestiones acerca de la consistencia y completitud en la Teoría de Números. 

Los axiomas de Peano no se ocupan del significado de "número natural", sino que lo suponen y pretenden encontrar un sistema simple de axiomas que caractericen los números naturales y nos permitan deducir a partir de estos, todas las propiedades de los números naturales, utilizando las reglas de la lógica.

Básicamente, los Números Naturales se pueden construir a partir de 5 axiomas fundamentales:

AXIOMAS DE PEANO:

·         1 es un número natural.  

·     Si a es un número natural, entonces a+1 también es un número natural (llamado el sucesor de a).

·         1 no es sucesor de ningún número natural.

·    Si hay dos números naturales a y b tales que sus sucesores son       diferentes entonces a y b son números naturales diferentes.

·       Axioma de inducción: si un conjunto de números naturales contiene al 1 y a los sucesores de cada uno de sus elementos entonces contiene a todos los números naturales.

El hecho de considerar el 0 como natural o no, es tema de controversia. Normalmente se considera que lo es según si se necesita o no, en cuyo caso el primer número pasa a ser el cero.